如何培养数学家的思维方式?中科院物理所




      


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导读



如果问“一个数学家是如何思考的”,就类似于问“一位音乐家是如何创作的”。同样的,这个问题可以用来了解创造性的工作是如何进行的。

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作者:Waldo Otis

翻译:Nuor

审校:xux

如果问“一个数学家是如何思考的”,就类似于问“一位音乐家是如何创作的”。同样的,这个问题可以用来了解创造性的工作是如何进行的从事于计算机科学尤其是人工智能方面的人员可以就这个问题给出正确的答案。一个真正的数学家对找到这个问题的答案并不感兴趣,他们总是忙于研究数学。

不幸的是,当前并没有确切的答案来回答数学家们思考的过程。但是可以如下处理这个问题:如果你看过任何象棋锦标赛,比赛之后,会有关于比赛的分析被分享出来。从这些分析中可以看出,在每场比赛中都会有突破点。同样的,数学家们在发现某些东西之前也会遇到突破点。

因此,很有必要通过分析一些数学证明来看到突破点,找到问题的答案。比如说,我们都知道的,欧几里得指明存在无穷多素数。定理的证明比定理本身更加优美。

所以,欧几里得是如何知道素数是有限的呢?他解决的方法可以说是非常迷人了。


首先,欧几里得假设素数是有限的。之后,他构造了一个集合,在其中写入所有的素数,称为:P={p1, p2, p3,…, pr},此集合之外的其他数都不是素数。然后欧几里得将集合中所有的元素相乘,乘积结果加一,得到新的数字 N。

此外,欧几里得通晓一些优美的数学知识,比如说素数基本定理。如果一个数不是素数,则可以分解为素数的乘积。因此,可以尝试将 N 分解。因为 N 不是素数,所以 N 至少可以被一个素数整除。但是,所有的质数都在集合 P 中,由于加一的原因无法将其整除。比如,2 和 3 是素数,2×3=6。2 和 3 可以除 6,但是不能除7(6+1)。所以这里有一个矛盾,数字 N 不在素数的集合中,但是是素数。这与假设矛盾,所以可证得素数是无限的


欧几里得的证明


当回顾这个证明时,我们发现欧几里得在某一阶段所做的跟其他人不同。与已有经验相悖,素数是有限的想法不是独创的。数学逻辑告诉我们,证明都是从这一步开始的。欧几里得真正超越这一步的独创想法是他抛弃了数字 N

让我们来看另一个定理的证明。

小学生们一般都很顽皮,老师为了让孩子们安静下来,在黑板上写下了一个很难的问题让他们解答:将数字 1 到 100 的中的所有数字相加。刚好那天,后来被认为是最伟大的数学家的高斯在那个班上。老师以为孩子们会花很长时间才能解出这个问题,没想到不到一会儿,高斯就开始和他的朋友们说话。老师询问高斯为什么不答题而在课堂上讲话,高斯说他已经解出了这个问题。当班上的其他学生将数字一个一个相加的时候,高斯做了一些不同寻常的事情。他发现,将序列的左边和右边分别相加时,总能得到数字 101。比如:1+100,2+99,3+98,…,50+51,总共有50个101。


如果仔细研究这个方法,将会发现即使是小孩子也能发现的规律。但是,并非是所有的小孩子都能像这样解决问题。而且,即使是很多聪明人,他们五十多岁的时候都不一定会想到这种简单的解决方法。

简而言之,有很多现有的例子来分析数学家们是如何思考的。几乎每一位数学家都在修改和操作以前介绍给他们的定理和证明,以找到新的想法或解决问题。但是那些被认为是天才的人正在做一些其他的事情。

比如说,假设有这样一位音乐家,他不必是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫或者伊戈尔·斯特拉文斯基。他只是一位普通的音乐家,能够做好自己的本职工作。之前他在音乐学院学习了四年,之后得到了他的硕士和博士学位。现在,如果请他作曲,他会作么?答案是显然的,虽然不确定他是否创作类似巴赫那样的作品,但是经过教育或者受训,任何人都可以学到一些东西。在数学系学习四年的学生肯定会学到一些数学的思维。但这就像是“接受一小时训练,期望得到一个新的定理”。

数学思维是一个连续的过程。学生们刚开始进行抽象的课程学习,之后学习证明类似于素数是无限的这种已有的证明,就像上面例子所示。然后他们就可以说:我们可以利用同样的方式证明另一个定理。例如:利用同样的定理可以发现无穷个像p≡3( mod 4)这样的素数“p”。总而言之,作为一名数学家,要做的主要事情是将小的证明应用于大的证明,一段时间之后,这些流程就会内在化。



接受的教育对思维的定型有很重要的影响。比如,数学家和物理学家在一起讨论的时候,他们永远无法就某个点达成一致。因为当物理学家从不同的角度看问题的时候,数学家会从不同的地方看问题。比如,对数学家说李群时,数学家会直接说括号运算,而物理学家会说结构恒定且起作用。他们解决问题的方法完全不同。

数学家们有特殊的思考方式,这种方式从作业,考试题目和课本中慢慢显现。同样,这是一个非常漫长的过程,需要很长时间。

到目前为止,以上只是讨论的大多数(普通)数学家们的想法。另外,如果要讨论所有数学家们的想法的话,一些重要的个例也需要被考虑到。其中之一是印度数学家拉马努金,他的人生不幸地非常短暂。他的数学教育与以上提及到的教育无关。

另外,拉马努金除数学之外的科目太差了,以至于他被大学开除。他读过的唯一一本数学书是一本数学家们都不会读的数学算数书。但是,拉马努金却是一位自己编写了超多数学公式并收集到其笔记中的一位数学家。有天,拉马努金将他的笔记寄给了英国剑桥大学著名的数学家戈弗雷·哈罗德·哈代。


拉马努金和哈代在剑桥大学 | 出自电影《知无涯者》(The Man Who Knew Infinity)


当然,因为那几天每天都有几百封写给哈代的信,刚开始他并没有在意这封印度的来信。之后,信件一侧的公式吸引力他的注意,这跟他那几天处理的问题很像。之后,哈代和他最好的朋友利特伍德一起研究拉马努金寄来的公式,他们甚至不能理解笔记中的一部分内容,哈代第一次用“这人不是骗子”来形容拉马努金。当利特伍德问为什么时,他回答说:“因为他写的这部分公式不可能编出来,所以这些公式必须是正确的。”哈代在之后的回信中立即邀请拉马努金来英国。

哈代和利特伍德在拉马努金到达英国之后发现了一些特别尴尬的事情,虽然拉马努金可以将无穷求和写成等式,但他对现代数学一无所知。所以他们要求拉马努金学习现代数学,上分析课程。但是更尴尬的事情发生了,拉马努金不能理解作为抽象思维基础的 epsilon-delta 方法。事实上,对于学数学的学生来说,这是非常不同寻常的。

拉马努金是个天才,我们不能理解他的想法,不像欧几里得。尽管可以解决无穷求和问题,他不能理解最基本的分析方法,他对复分析的思路一窍不通,但他可以研究 zeta 函数。所以拉马努金有一个只有他自己知晓的思维,其他人不可能会理解。


有一天,哈代对拉马努金的情况很好奇,问他是怎么写下所有的公式的,拉马努金说是上帝告诉了他,然后他把这些写了下来。对我来说,这是非常合理的解释,因为拉马努金一周七天,每天24小时基本都在研究数学,经常忘记吃饭,总是被妻子或者母亲提醒才去吃。所以,当他晚上做梦的时候,还在研究数学。在我还是学生的最后一周,我就遇到了这样的事情。在微积分考试上我非常用功,因此晚上还在梦中继续解答一些问题。

在英国,拉马努金见到了他儿时的伙伴钱德拉·马哈拉诺比斯。马哈拉诺比斯是当时一个非常有名的印度统计研究所的创始人。马哈拉诺比斯当时是剑桥大学的学生,还是一名优秀的统计学家。在他们还是孩子的时候,拉马努金和马哈拉诺比斯是印度的一个数学比赛的第一,第二名,拉马努金是第二名,他当时哭了很久,不停地说自己是最伟大的数学家。

有一天,马哈拉诺比斯问拉马努金一个问题:威廉先生的朋友住在卢万的一条街里,这条街每户人家都有门牌,并按1、2、3……的顺序编号。已知他朋友家左边的门牌号相加与右边门牌号相加得到的结果相等,又知这条街上的住户数量在50到500之间,问如何求得朋友家的门牌号。

经过一番计算,马哈拉诺比斯发现街道住户有288个,而朋友间门牌号为204号。拉马努金一看到这个问题,就提出如果没有其他的条件,可以用连分数来解决这个问题,这个问题之后也是罗杰斯-拉马努金恒等式的观点之一。回到这个问题上,拉马努金一看到这个问题就意识到跟连分数有关。另一方面,大多数数学家都不能反应这么迅速。所以,这个有趣的例子是关于数学家们如何思考的一个完全不同的答案。


拉马努金身上还发生过另一个类似的故事:出租车牌照问题。当拉马努金病重住院的时候,哈代立刻乘出租车去医院探望他。沉默良久之后,哈代说他来时乘坐的出租车牌照很普通:1729。拉马努金不假思索地说:“怎么会呢?哈代,它是可以用两种不同的方式写成两个整数的立方和的最小正整数。”



高斯和拉马努金都是天才,他们都能内在化数学和符号。他们的共同点是不怕用任何方式计算。但是我们也应知道,也有很多伟大的数学家们跟以上提及到的不同,他们从不接受那些思维方式。跟数学家拉马努金不同的是,主要研究代数几何的亚历山大·格罗森迪克,基本都在研究抽象数学。代数几何通常涉及到调整多项式的根。在代数几何中,数学家安德烈·威尔曾有一些长期无法解答的问题。20世纪70年代格罗森迪克的一位学生皮埃尔·德林证明了威尔猜想。

格罗森迪克对他的学生非常生气,因为德林使用了拉马努金的关于模块形式的特殊理论,格罗森迪克认为这只是一个小把戏。根据格罗森迪克的说法,证明一定很简单,而且没有多余的理论,这就是为什么他从不喜欢德林的证明。从该示例可以看出,拉马努金和格罗森迪克是两位有着截然不同的心态的数学家

我想再举一个例子。有这样的一个定理:存在无理数a 和 b ,a 的 b 次方是有理数。我们可以证明这个定理如下:

可以取 2 的平方根,我们知道它是无理数。现在来研究 √2 的 √2 次幂,这个数字不是有理数就是无理数。如果它是有理的,那么就可以得证,因为可以选择数字 a 和 b 为 √2,这样情况就结束了。

但是,如果 √2 的 √2 次幂是无理数,那么 √2 的 √2 次幂的 √2 次幂就变成了√2的平方,等于 2,这是有理数,所以产生了一个矛盾。


如果将这个证明在作为数学思维的一个例子,这可以是很明显的证明。但是一些数学家们不喜欢这种方式的证明。这种方法一直是大卫·希尔伯特和鲁伊兹·布劳威尔之间冲突的根源。

所以我的意思是,一个数学家如何思考是一个很重要的问题,但是数学家之间在思维方式上也有差异。一个人不喜欢另一个人的思维方式。有些数学家甚至不喜欢选择公理,但在进行函数分析时,我们会使用选择公理。所以即使在最基本的事情上我们也会用到它。

现在,我们讨论了这些,但是,还有一些完全不同的东西。数学日趋复杂。一些证明可能需要数百页。例如,有限单群的分类有上千页的证明,甚至有传言说某个地方有一个错误,说在零星的群中应该还有其他几个群。这就是为什么一些数学家目前正在研究是否可以制作能够控制证明,或者是可以用来进行证明的计算机程序。

音乐也是如此,因为音乐和数学是并行发展的,音乐家也和数学家处理同样的事情。例如,有一些电脑音乐作曲家。人的速度是一定的,一个人不能同时按八个地方,但在电脑上可以做任何事。所以有人在想,是否可以在数学思维中引入计算机?这个想法提出了一个问题:计算机能自己研究数学吗?


艾伦·图灵是第一个提出这个问题的人。最后,当我们研究数学家是如何思考的时候,我认为我们应该开始思考,如果计算机在未来开始像数学家一样思考,它能用来做什么。



原文链接:

https://medium.com/however-mathematics/how-mathematicians-think-d73214af5ea2


拓展阅读:
从理论物理到工程物理——于敏先生的学术生涯与杰出贡献 | 中科院物理所

背景简介:本文于2020年4月14日年发表于微信公众号 中科院物理所 如何培养数学家的思维方式?,风云之声获授权转载。

责任编辑陈昕悦

文章转载自微信公众号:风云之声

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