绝世传奇——非欧几何还原为欧氏几何
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科学是一个整体，一些基础性的学科，应当成为其他很多学科的基础，也就是这些更为分支的学科规律，要能够在数学上或逻辑上完全还原为基础学科的规律。一些规律要还原为更基础的规律。还原有多种类型，《实验、测量与科学》一书中主要讲述了决定论式还原、回溯式还原和映射式还原。
1.决定论式还原。 通过逻辑演绎，基于公理体系导出所要描述的规律，或以基础学科规律，通过演绎推导出分支学科规律。这种还原关系也称为“决定论”式的还原关系。
2.回溯式还原。虽然不能通过决定论式的还原关系进行推导，但新的理论体系可以在极限条件下变成原有的理论体系，这种还原关系可称为“回溯式”还原关系。例如，相对论和量子力学不能通过牛顿力学推导出来，但它们都会在宏观低速条件下还原成牛顿力学。
3.映射式还原。如果新的理论，既不能决定论式地推导，也不能回溯，但通过数学建模建立公理体系之间完备的映射关系，从而也可以建立完全不同公理体系之间的还原关系。例如非欧几何和欧氏几何的关系。
非欧几何向欧氏几何的还原是映射式还原的典型案例。
欧氏几何第五公理（平行公理）的证明是一个持续了2000年的数学难题，无数的尝试都失败了。俄国数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Никола йИва новичЛобаче вский）在解决这个难题过程中，创造性地设想出了用反证法来解决这个难题。这种反证法的基本思想是，为证明“第五公理不可证”，首先对第五公理加以否定，然后用这个否定命题和其他公理公设组成新的公理体系，并由此展开逻辑推演。
俄国数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基
假设第五公理是可证的，即第五公理可由其他公理推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公理和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公理可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公理不可证”。依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公理的等价命题——普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”做出否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否命题和其他公理组成新的公理系统展开逻辑推演。
在推演过程中，他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公理可证性的反驳，也就是对第五公理不可证性的逻辑证明。
1826年2月23日，罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文——《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。
但是，由于罗巴切夫斯基几何的命题与常识差异太远，人们无法理解。因此，不仅它出现后受到冷漠，而且罗巴切夫斯基个人也受到大量批评甚至人身攻击，其职业生涯也因此受到巨大影响。
德国著名数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯
同时期的大数学家高斯事实上也私下发现了非欧几何，并对罗巴切夫斯基私下非常赞赏，但却一直不敢给罗巴切夫斯基公开支持。因此，即使经过了30多年，直到1856年2月12日罗巴切夫斯基逝世，非欧几何也未得到数学界认可。直到非欧几何向欧氏几何的还原工作完成，非欧几何才得到数学界的理解和认可。
意大利数学家E.贝特拉米
1868年，意大利数学家E.贝特拉米（Eugenio Beltrami，1835.11.16 — 1900.2.18）发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
有多个将罗巴切夫斯基几何还原为欧氏几何的数学建模方法，其中一个如下：
一种极限方法的罗氏几何还原
先在欧氏平面上设立一个有限的圆，在这个圆中有一直线和直线外一点。那么，在这个有限的圆形空间内，过该直线外的点可以做无数条直线，使得在该空间内不与原直线相交。而所谓“平行线”的准确数学含义即是“不会相交”。然后将圆的尺寸无限扩大，从极限的意义上理解，也就成为第五公理的罗氏几何假设。
今天，我们或许会为当年人们没有立即接受罗巴切夫斯基的非欧几何学而对其有所批评，但我们不能仅仅如此简单地、有些马后炮式地去看待科学发展的历史。仅仅简单地指责当时的数学界思想保守和观念陈旧是没有用的，如果我们自己身处当时的历史条件下能做得更好吗？连大数学家高斯在已经独立做出非欧几何发现之后，也不敢公开支持罗巴切夫斯基的发现，以“胆量”和“勇气”不够对其评价是过于简单的。
罗巴切夫斯基几何现在广为接受的还原方法，是意大利数学家贝特拉米把罗氏几何空间还原为欧氏几何的马鞍形空间。而把黎曼几何空间还原为欧氏几何立体的椭圆球面空间，也有效还原了黎曼几何。
“科学是一个相互还原的整体，知识不能自成体系”，非欧几何还原为欧式几何的经典案例有力地证明了科学作为一个整体是如何进步的！
独立学者
人类第三次科学革命倡导者，纯科学理论体系创始人
云铝股份（000807）独立董事
浙江宇视科技 顾问
上海析易船舶 联合创始人
中央民族大学中俄能源研究院 客座教授
中关村长风联盟 国际化导师
中国农投会、中关村京港澳青年创新中心等创业导师
曾为中兴通讯（000063）国际市场管理体系的奠基人
著 作：
《通播网宣言》
《生态社会人口论》
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《实验、测量与科学》
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文章转载自微信公众号：纯科学
