坎尼会战的数学分析

坎尼会战是发生在第二次布匿战争中的一次非常重要的战役，它发生在公元前216年，这场战役的最后是迦太基部队取得了胜利。此后的研究战争的学者将坎尼会战中迦太基部队的胜利评价为是一场战术上的奇迹般的胜利。

此战中，汉尼拔指挥的迦太基军队，不仅战胜了超过自己数量1倍左右的8万罗马军队主力，而且竟然以相对较小的战损使罗马军队遭受到近90%的伤亡，似乎构成一个对战争基本循环因果序列的反例。但事实上并非如此。

后来的军事家们在总结此战胜利原因时，比较多地提到汉尼拔采用的新月形布阵的战术效力。这个布阵在战术上的确对包围罗马军队起到关键作用。但罗马军队败到如此之惨的程度，仅靠这个战术的效力远远难以解释。如此显著的以少胜多，并且使对手遭受如此之大战损的结果，以战争循环因果序列规律来看，很显然地属于存在部分0伤亡作战才能达到的效果。如果没有这个关键性的因素，即使迦太基步兵形成了对罗马步兵的包围，并且最终也获得胜利，罗马军队伤亡不可能会达到这么大的程度，另外迦太基军队自身的伤亡也会大大超过实战的结果。

骑兵+弓箭，或投射的标枪具有较大的战争维。投射的标枪在一般情况下，击毁效率并不一定很高，因为对方发现后若有足够空间和时间躲闪，就可极大减少自身伤亡机会。因此，一般交战中只有集中大量兵力同时投射才可有效地显著提升击毁效率。而当罗马军团被挤压和包围时，投射的标枪击毁效率会大幅度地提升。此时拥挤在一起的士兵不仅很难躲闪，而且躲闪动作还会造成自相践踏。

此战最后结果，汉尼拔的军队也承受了较高的17000千多人的伤亡。战死6000多人，其中有4000多人是中路的高卢步兵，有1500多其他步兵，而骑兵战死者只有500多人。可以看到，骑兵伤亡率远低于步兵，并且一个很合理的假设是这些伤亡主要是因与罗马6000骑兵交手、并击败该对手时产生的伤亡。由此可见，迦太基的步兵在与罗马步兵短兵相接的战斗中，伤亡率也非常高。而在迦太基骑兵击败罗马骑兵之后，从罗马军队后方包围并攻击其步兵时，所受到的伤亡却几乎可以忽略不计。这清楚显示了他们在与步兵的战斗过程中，是以近似0伤亡状态在与罗马军队作战。

它开始时是属于战争维包含型0伤亡作战。这样的状态一旦形成，无疑将很快使罗马军团的后部军心大乱，并陷入崩溃。糟糕的是，其后方军队受到这样的打击并陷入崩溃后，会慌忙地向前躲闪，以躲避迦太基骑兵的进攻。这就导致整个罗马军团高度拥挤在一起而自相践踏，并将恐慌和崩溃情绪迅速传递到整个军队，进而使整个罗马军团陷入崩溃型0击毁效率状态。

如果没有迦太基骑兵后方的0伤亡作战导致整个罗马军团崩溃，在正面和侧翼步兵的厮杀将会是一场长久维持的消耗战，这会对迦太基军队构成比实际结果大得多的伤亡数量。甚至最后因迦太基军队数量不足还可能陷入失败的结局，尽管同时罗马军队遭受的损失也还是会很惨重。

汉尼拔在此战步兵的新月形布阵的确起到了相当好的作用，但我们必须清晰地明白其作用到底是什么。

很多对此战役的军事研究和评述都提到，迦太基军队后来对罗马军团“分割包围”，加以歼灭。但从大致公认的战役发展地图上看，我们很难理解迦太基军队是怎么能够对罗马军队“分割”的。因为整个罗马军队是高度地拥挤在一起，其内部都很少有机动的缝隙。迦太基军队怎么能够插得进去呢？并且，如果迦太基部分军队冲入敌阵，弄不好是自己陷入对方的包围之中而反被敌方歼灭。

军事研究者们之所以一定要设想迦太基军队对罗马军队进行了分割歼灭，是因为在数量上敌多我少的情况下，如果不对敌人进行分割的话，根本无法理解迦太基军队怎么能够做到在其数量相比对手更少的步兵作战中，能够以极大的优势歼灭敌人。尤其是在冷兵器时代，双方士兵之间一般难以形成太大的击毁效率差异。如果没有数量上分割敌方的话，以战争循环因果序列或一般经验性的军事理论来看，难以形成以少胜多、而且伤亡率竟然还极大地低于敌方的结局。虽然存在上述0伤亡作战的情况。

一般情况下，分割都是将敌方军队在空间上切割成不同区域来实现。但坎尼会战中，迦太基军队是对罗马军队形成了一种极特殊的“战争维分割”。

在冷兵器时代，战斗时的静态战争维很可能远小于双方兵力集结范围。战斗只发生在双方长矛+手臂的狭窄空间范围，这个距离只有一二十米。而双方军队方阵的尺寸却可能以百米甚至千米计算。这样会发生军队方阵后面的士兵不在真正的静态战争维中的情况。

这一特点是坎尼会战中，汉尼拔能够通过精巧的布阵，即使在步兵的交战中也能以极大战果优势战胜数量上多于自己1倍左右罗马军团的原因所在。

因为一旦罗马军队高度地、大致呈一个半圆形地拥挤在一起，位于中央的大部分罗马军队就处于当时的战争维之外，而无法起作用了。只有在包围圈的边缘上才处于可以实际交战的战争维之内。因此，尽管整个罗马军队看起来还是处于一个完整的空间区域，但却处于包围圈边缘和中央相互分割的状态。

我们取半圆的半径为r，而半圆形边缘厚度为其半径的10%来计算。

半圆形的面积

半径减少10%的半圆面积为：

因此，处于边缘10%半径的面积为19%A。

同理，如果半圆形边缘厚度是半径的5%的话，可得其边缘面积占总面积的比例为9.75%。假设坎尼会战后期形成的半圆形战场半径为1000米的话，边缘战争维宽度为20米，其半圆形外沿战争维的面积占总面积的比例竟然只有3.96%。如果罗马军队总人数为8万人，也就是说，此刻处于战争维中的军队数量竟然只有8万×3.96%=3168人！这3168名罗马步兵要与迦太基充分展开的近3万步兵进行对攻，怎么可能不面对惨败的结局！如果考虑到战场尺寸，以及实际战争维假设的误差，以边缘战争维宽度为半径的不同比例进行计算，可以得到不同假设条件下罗马军队同一时刻进入战争维可以参战的军队数量见表1：

表1 不同假设条件下，罗马军队同一时刻进入战争维的可参战军队数量

以上计算时假设罗马军队总人数是8万人。假设在其较为拥挤的情况下，以罗马军队平均每人占有的战场面积不同假设，可以简单估算出形成半圆形包围圈时的战场半径。

表2 形成半圆形包围圈时的战场半径平均每人占有面积

如果战场半径越大，战争维面积所占比例就越小。按以上计算最大半径时，战争维厚度占半径比例为2%；而如果战场半径越小，战争维所占面积比例可以越大，但罗马军队士兵活动空间就越小，从而影响其作战能力，最终影响击毁效率。按以上计算最小半径时，战争维厚度占半径比例为10%。此时战争维中罗马军队数量处于最高水平，也仅为迦太基军队一半。

进行此计算时假设罗马军队是均匀分布在半圆形平面内，可能会有一定误差。因为如果有一定空间的话，罗马军队应当是在边缘战争维中密度与迦太基军队一样。此时按几何规律，假设迦太基军队战争维厚度与罗马军队一样，其占有的外圈面积会比罗马军队的内圈面积略大一些。也就是其军队数量略多一些。

在击毁效率上，因迦太基处于外圈，其活动和机动空间会更大。处于外圈的迦太基士兵如果从空中向内投射标枪，会增大其战争维，并有效击毁圈内密集分布的罗马军队。而处于内圈的罗马军队一是因拥挤难以施展。另外即便他们投出标枪，因迦太基军队是较薄的一层，一旦投远就无法具备有效击毁能力。

当天罗马军队处于迎风方向，因军队活动掀起的尘土影响了罗马军队的视线，这也影响了其击毁效率。

坎尼会战图

1. 迦太基的新月形布阵和罗马军队的布阵。

2. 迦太基非洲战象部队和骑兵从左路首先攻克罗马骑兵，并绕到右路夹击罗马骑兵。

3. 迦太基骑兵从罗马军队后方包抄，形成对罗马军队的挤压。
   

4. 迦太基军队对罗马军队形成剥洋葱式的战争维优势。

从几何上看，圆形是以最小的边线长度提供最大的中间面积。这就使整个战役过程中，总是分割出尽可能少的罗马步兵进入战争维中，与充分同时展开的迦太基步兵进行交战，而把尽可能多的罗马军队隔离在战争维之外的中央面积中。然后沿着包围圈的边缘线，将罗马军队逐次层层歼灭。

因此，虽然整个战役过程中，罗马军队整体数量超过迦太基军队，但在每一个具体时刻，即使以步兵数量计算，真正处于战争维之中的迦太基军队数量却都远超过罗马军队。罗马军队就像从中央切下的洋葱块一样，虽然空间上是一个密集的整体，却被分割成一层又一层薄薄的半圆形洋葱线圈，被汉尼拔的军队从外向里层层剥下吃掉。

在罗马军队后部大致呈直线形（半圆的直径）的包围线上，为迦太基骑兵提供了最高效率的以0伤亡击毁敌人，同时又可以有充分空间随时机动撤退的条件。

以上就是为什么坎尼会战中，迦太基军队能以如此之高的交换比，战胜比自己总人数更多敌人的数学奥秘。它不仅没有违反战争循环因果序列，反而以另一种方式更严格地证实了它。

从战略上说，要进行一场战役需要军队有效集结在一个战场，从而提供尽可能多的军队数量。而在真正进行战斗的时候，又需要在战术上将军队充分展开，以使所有军队尽可能同时发挥击毁能力，从而提升每个时序的击毁效率。因此可以看到，在火绳枪和燧发枪时代，为了使军队所有士兵同时发挥击毁能力，其布阵是所有人员尽量站成一排，同时向敌方开火。而在今天看来，这实在是不可思议，因为它也会造成敌方攻击时很高的毁伤效率。

在冷兵器时代，军队需要有相隔一定空间的方阵，以使得己方军队保持一致地攻击敌方的同时，也相互保护。罗马军队在坎尼会战之后，从该战役中充分总结了教训。如对军队方阵做出改革，将方阵分为很多细少的分队，每个分队可独立移动，以提供更高的灵活性。这些改革使罗马军队的机动性和战斗力获得了极大提升。