古代数学(1)数字符号

讨论数学之前,我们先看一个关于语文的笑话。


从前有个孩子,很不爱学习。老师只教了他一、二、三这3个字,他就不想学了,认为自己已经都会了。有一天,他爸爸让他写信请万老爷吃饭,等了半天也不见他写好。过去一问,那孩子抱怨说,老爷姓什么不好,偏姓万,我这“万”字才写了1000多横,还差9000横呢。


5000多年前的古埃及,这个笑话可不是笑话。因为古埃及的数字符号,还真就是一个个罗列出来的。五就是5个“一”,八就是8个“一”。当然他们不会划10000笔去表示“万”。他们用不同的符号来表示“十、百、千、万”,但是表达方式还是逐一罗列。四十就是4个“十”,七十就是7个“十”。

古埃及人的邻居,古巴比伦人,也用类似的方式表示数字。四十就是4个“十”,五十就是5个“十”。当然他们懂得进位,这个我们后面再说。

作为地中海文明的继承人,古罗马的数学表达方式与前两者一脉相承。8就是VIII18就是XVIII,就这么无限叠加上去。如果要表示1888,那简直恐怖。它是MDCCCLXXXVIII。再大一些的数字就更是难以想象了。


在数字符号的进化史上,这种靠罗列叠加组织起来的系统是比较原始的。从古埃及到罗马,发展了3000多年,几乎毫无进步。整套符号系统就只建立在“加法”这一种运算之上。唯一的区别只是“十、百、千、万”等几个符号图案的画法不同而已。


中国人很早达到了另一个高度。在3000多年前的甲骨文里,不仅定义了“加法”,而且还定义了“乘法”。所以把“六”和“十”拼在一起,就是六十。把“八”和“百”拼在一起,就八百。这样的表达,既清晰又简洁,效率远远超过“加法”系统。

前面提到过,古巴比伦人有一项独特的发明:进位。因为他们的楔形文字画不出特别复杂的图案,所以在设定了“一”和“十”的符号图案之后,更大的数字符号就无法表达了。于是他们想出了进位法,让数字的位置也来表示大小。往左一位,数字就扩大60倍。这就成了后世60进制的源头。


进位法虽然聪明,可惜还是不能绕过楔形文字的天然缺陷。因为楔形文字的字型散乱,数字的位置非常不容易识别。比如下面这个符号,既可以解释成80,也可以解释成4210

要想表达出空位就更难了,1603600之间几乎无法分辨。

相比之下,识别数字位置对于中国先秦时代便已普及的算筹来说,完全是小菜一碟。因为它全部由长度相等的竹片组成,无论什么数字,摆出来都是方方正正的一块。空位,甚至小数都很容易表示出来。

在中国,空位的使用可谓历史悠久。古书中缺失的汉字,也都是用空位来表示的。因为汉字全都是一个个方块,所以空位中缺多少个字都能一目了然。也许实在是太方便了,所以中国人竟然一直没有想到要设定一个符号来表示空位。


公元7世纪左右,印度人发明了0,为人类的数字符号系统砌上了最后一块砖头。然后这套数字符号经由阿拉伯人传入欧洲,再由欧洲人带向世界,成了现在通行的“阿拉伯”数字。


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