带部分风险资产的最优投资问题

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在保险精算学中,学者们对保险公司的最优投资比例问题越来越感兴趣。因为保险公司不仅投资到货币市场,而且部分投资到股票市场。


但是股票市场具有高风险性,所以投资策略和风险管理变得越来越重要。



01. 模型假定


较早研究这个问题的是Browne(1995),他考虑的模型是:风险资本模型是由经典的Black-Scholes模型刻画,保险公司的风险过程是一个带漂移的Brown运动刻画,得到的结果是:在没有负债约束的条件下,不管公司盈余多少,最优投资策略是在风险市场上投资定量的资金。


Chi Sang Liu 和Hailiang Yang在经典的风险模型基础上,加入风险投资和无风险投资,将保险公司资产分为两部分,一部分是投入股票市场的资产,另一部分投入到证劵市场,他们通过HJB方程,得到一个关于最优投资股票市场金钱数量与初始盈余的关系。

本文在经典的Lundberg风险模型的基础上,加入风险投资和无风险投资,将投到风险资产上的比例为b(t),b(t)∈[0,1],建立相关的投资模型,将随机控制理论运用到此模型中,解决最优随机控制问题,通过生存概率推导出相关的HJB方程,得到生存概率最大的最优解b(t)与初始盈余之间的关系。

假定在交易过程中没有交易费和税费,假定投资过程中仅有一个风险股票市场和一个无风险证劵市场,时刻的股票价格用表示,则满足下列随机微分方程:

其中μσ是正常数,μ表示股票返回的瞬间期望率,σ表示股票价格的易变性,{Wt:t>=0}是定义在完备化的概率空间(Ω,F,P)上的标准布朗运动,。t时刻证劵价格满足下面随机微分方程:

r0表示利率,假定是非负常数。下面我们从经典的Cramer-Lundberg模型出发,假定风险模型:

其中c是常保费率,且索赔次数,服从参数为λ的泊松分布,假定Yi独 立同分布的,不妨设Yi与Y独立同分布,保险公司把盈余U(t)按投资比例b(t)∈[0,1]分为两部分,即投入(1-bt)U(t)到无风险市场证劵市场,那么投入风险市场的盈余为 btU(t),定义投资回报过程{I(t),t>0}满足:


我们要找到最优投资比例,使得保险公司破产概率最小。


假定①{btU(T),t0},①是可测并且是适应过程,且②


假定①意味着投资者只能依据现有的信息决策,投资者“没有先知先觉”功能,不能准确预测未来价格的变化,假定②的经济意义是投资者不能“恶意透支”。




02. 最优投资问题的HJB方程


我们用生存概率作为目标函数,来求一个投资策略,也就是定出最优投资比例,使得生存概率最大化。


考虑一个很小的区间[0,dt],在这个小时间段内最多只有一个索赔发生,由于索赔到达过程{N(t),t>0}服从强度为λ的泊松分布,所以在[0,dt]上有一次的索赔Y到达的概率为λdt,此时盈余将减少为 u-Y ,反之无索赔发生的概率为 1-λdt+o(dt),盈余将增加为

由全概率公式生存概率δ(u)取期望可以表示成如下形式:

通过推导得到了最优问题的HJB方程:


这里首先可以假定δ(u)严格递增,因为保险公司财富储存越多,保险公司生存概率也就越大,另外假定δ(u)是凹函数,并且索赔密度函数是局部有界的。


是在股票市场上的最优投资数量,令:


求解数值解可以用两种方法,第一种方法用有限差分法(具体求解过程附注在文末)。

第二种方法,可以用Matlab软件求解微分方程数值解,令K=1,λ=3, μ=0.1,r0=0.04,σ=0.3,c=3.6,最后得到了图1曲线图。


  图1:索赔为指数分布的最优投资策略

可以从图形看出来,当盈余很小的时候,保险公司宁愿把超过盈余的资金都投入到股票市场,下表显示比例几乎是b=1,也就是说保险公司乐意接受高风险的回报来阻止破产和亏损,这是因为风险资产有着更高的漂移系数将导致更高的投资比例。

然而当盈余慢慢增大时,投资到股票市场的比例减小,也就是说,盈余越大,保险公司亏损的风险越小,完全可以抵抗住一些索赔数量,保险公司就会乐意持有保守的投资策略,因此保险公司宁愿选择无风险的证劵市场来减少资金的损失。

另外,从此图更能看出,人们投资的比例在0.65以上,这超出了百分之五十,这能够说明我们大多数投资者都是风险爱好者,才会在盈余越来越大的时候还是会把过多的资产投入到风险市场中,这正与实际吻合,同时给保险公司管理者和风险投资者更好地投资策略组合。


03. 最优投资业务应用


最优投资风险模型经常被银行金融机构广泛运用到客户的理财管理中。

根据客户的风险测评情况,进行该客户的风险评分,金融机构判断客户的风险偏好程度,然后就可以根据客户的实时资产动态情况对客户进行理财产品推荐。

例如客户进入某银行的AAP客户端,银行后台根据客户的资产负债等数据情况,得出分数(建行有龙信商分数,支付宝有芝麻分等),按照最优投资风险模型,客户的资产盈余越低,投资风险市场比例越高,随着客户的资产盈余增长,投资风险市场的比例降低,客户风险测评略高,投资风险市场的比例高于50%。

例如某客户进入银行APP 后,该客户存款5万元时,银行APP认为该客户为新客户,风险偏好型,根据模型推荐存款比例0.5%,现金类产品比例0.5%(无风险市场),固收类产品比例3%,股票权益类产品95%,黄金商品类比例1%(无风险市场)。

随着该客户的资产逐步增大,某时该客户进入银行APP后,资产为1000万元,根据最优投资风险模型推荐存款比例10%,现金类产品比例35%(无风险市场),固收类产品比例5%,股票权益类产品比例40%,黄金商品类比例10%(无风险市场)。

这样随着客户的资产动态变化过程,客户动态推荐投资产品,既能给客户带来收益,同时不致于产品风险偏大导致客户收益损失,造成客户流失。






附注:最优投资问题的HJB方程求解过程





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文章转载自微信公众号:新蜂数字金融

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